阿基里斯追不上烏龜，但牛頓可以。

02 Nov, 2025

我在《哲學哲學雞蛋糕》¹看到一個悖論長這樣：

阿基里斯跟烏龜賽跑，但因為烏龜很慢所以阿基里斯就先讓他幾步。

假設阿基里斯在 $P_{1}$ ，烏龜在 $P_{2}$ 。

當阿基里斯花了一些時間跑到 $P_{2}$ 時，烏龜已經到更前面一點的 $P_{3}$ 了。

於是阿基里斯再努力跑到 $P_{3}$ ，但烏龜又已經到更前面一點點了……

所以阿基里斯就算腳踝很健康還是永遠追不到烏龜。

古希臘哲學家芝諾想要藉此證明萬物都是不會動的，可是身為一個理組生，我無法接受有人說我花了快一個學期 suffer 的運動學，全都是假的。

不知道大家想到為什麼會這樣了嗎？我要公布答案囉：他混淆了無限多項跟無限多的差別。其實從高三數學的「極限」觀點就可以處理這個問題了（我把我的算法放下面）。

我在算的時候，覺得能在準備學測的高壓學習中，偶然找到數學有趣的地方真開心。這才是數學教育該有的樣子吧！用一些有趣的內容引發學生的好奇，進入到「我真的好想知道為什麼」的狀態。

而且這樣的知識也太浪漫了吧。將近西元五百年前提出來的問題，直到 17 世紀才發展出足夠的數學工具去解決。每次考試時看著一旁的同學振筆疾書，很多人在拚誰比較早交卷。但我們花幾分鐘解決的問題，可是學界前前後後快 2000 年的對話呀！

假設阿基里斯的速度是 $V_{1}$ ，烏龜的速度是 $V_{2}$ ， $V_{1} > V_{2}$ 。從 $P_{1}$ 到 $P_{2}$ 花了 $t_{1}$ ，從 $P_{2}$ 到 $P_{3}$ 花了 $t_{2}$ ……以此類推。

一、阿基里斯到 $P_{2}$

t_{1} = \frac{P_{2} - P_{1}}{V_{1}}

P_{3} = P_{2} + V_{2} t_{1} = P_{2} + \frac{V_{2}}{V_{1}} (P_{2} - P_{1})

二、阿基里斯到 $P_{3}$

t_{2} = \frac{P_{3} - P_{2}}{V_{1}} = \frac{V_{2}}{V_{1}^{2}} (P_{2} - P_{1})

P_{4} = P_{3} + V_{2} t_{2} = P_{3} + \frac{V_{2}^{2}}{V_{1}^{2}} (P_{2} - P_{1})

三、歸納

t_{n} = \frac{V_{2}^{n - 1}}{V_{1}^{n}}

根據無窮等比級數公式： $S = \frac{a}{1 - r}$

\sum t_{n}^{2} = \frac{\frac{P_{3} - P_{2}}{V_{1}}}{1 - \frac{V_{2}}{V_{1}}} = \frac{P_{2} - P_{1}}{V_{2} - V_{1}}

其實這個結論就跟我們很小學時就會列出的「距離差／速度差」是一樣的。

旭跟我說他之前翹閩南語客在圖書館時，也看到這個故事。但比起證明錯誤，他更喜歡享受這個悖論的存在。↩

#哲學 #數學